关于 Dirac delta 函数的定义

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问题

从 Dirac delta 函数的定义:

  • 对于任意函数 \(f(x)\) 都有
\begin{align*} \int_{-\infty}^{+\infty}f(x) \delta(x) \mathrm{d}x = f(0) \end{align*}

则 \(\delta(x)\) 为Dirac dleta 函数.

出发,证明对于任意的函数 \(g(x)\) , Dirac delta 函数都有如下性质:

  • 对于任意函数 \(g(x)\) ,和任意不包含 \(0\) 的区间 \([a,b]\) , Dirac delta 函数 \(\delta(x)\) 都有:
\begin{align*} \int_a^b g(x)\delta(x) \mathrm{d}x = 0 \end{align*}

证明

构造函数:

\begin{align*} h(x) = \left\{ \begin{aligned} A \quad &,x \in [a,b] \\ 0 \quad&,x \notin [a,b] \end{aligned} \right. \end{align*}

其中 \(A\) 是非零常数, 则有

\begin{align*} \int_{-\infty}^{+\infty}g(x)h(x) \delta(x) \mathrm{d}x =& g(0)h(0) = 0 \\ =& \int_a^bAg(x) \delta(x) \mathrm{d}x = A \int_a^b g(x)\delta(x) \mathrm{d}x \end{align*}

\(A\) 不为零,所以

\begin{align*} \int_a^b g(x)\delta(x) \mathrm{d}x = 0 \end{align*}

得证.

总结

所以Dirac delta 函数只需要一条定义足以. 其它的性质都可以由定义推出.

致谢

感谢导师 Ran Qi 的解答.

感谢 Fan Yang 师兄的再次解答.